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前文回顧：

探秘埃舍爾那些鮮為人知的手稿（前傳）：17種平面對稱群

密鋪——貼磚的藝術1：貼磚——伊斯蘭工匠的藝術活

密鋪——貼磚的藝術2：永珍之始——正多邊形的密鋪

“平面規則分割是我挖掘出來的最豐富的靈感之泉，它至今也沒有枯竭。”

——莫里茨·科內利斯·埃舍爾（Maurits Cornelis Escher）

在上一節中，我們論述了以正多邊形密鋪為基底，隨後新增圖案線構造伊斯蘭圖案的方法。想必你已經發現，如果只使用正多邊形進行密鋪，那麼能使用的圖形只有正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形和正十二邊形這五種。如果想加入正五邊形、正七邊形這些無法規則密鋪的圖案，又該如何？本節，我們來探索基於更多種正多邊形密鋪的伊斯蘭圖案設計。

正五邊形、正十邊形——五重對稱系統——黃金分割

我們知道，正五邊形無法密鋪平面。而即便正五邊形與正十邊形配合，也只能密鋪平面的某個區域性，無法延伸至整個平面。因此，五重對稱的圖案在設計過程中有些傷腦筋。此時，我們需要引入非正多邊形。

圖3。3。1

“多邊形密鋪連線法”的關鍵在於各種多邊形的完美密鋪，使得當透過平移對稱將重複單元延伸到整個平面時，密鋪依然完美無缺。一般而言，位於重複單元中的多邊形的數量越多，最後形成密鋪圖案就越複雜。圖3。3。2a-d展示了4種非常基本的構造正五邊形和正十邊形密鋪圖案的方法。對稱單元一般選取菱形、矩形等簡單的對稱圖形，作為主要圖案的正十邊形放置在重複單元的頂點上。然後在重複單元的內部填充多邊形即可完成設計。

圖a將兩個正五邊形夾在正十邊形中間，產生了內角為72°和108°的菱形重複單元，中央留下的空白剛好形成了一個桶狀六邊形。

圖b是矩形重複單元，同樣，兩個正五邊形夾在正十邊形中間，構成了矩形的短邊，長邊由桶狀六邊形分隔開兩個正十邊形。中央的空白可以填充4個正五邊形和一個窄菱形。

圖c與圖a擁有相同的重複單元，都是內角為72°和108°的菱形。圖c使用桶狀六邊形分隔兩個正十邊形，以此作為菱形重複單元的四條邊，中心空白區域用正五邊形和窄菱形填充。

圖d依然使用桶狀六邊形分隔的兩個正十邊形，但這次作為重複單元的菱形內角為36°和144°，餘下的空白區域由兩個寬菱形填充。

圖3。3。2a-d

下圖3。3。3展示了一種更復雜的密鋪構造，重複單元依然是內角為72°和108°的菱形，但兩個正十邊形中間塞進了更多的多邊形。由此，中央留下了更大面積的空白，類似兩個交疊的正十邊形，可以有多種方式進行填充。下圖選取用桶狀六邊形、正五邊形和窄菱形進行填充。

圖3。3。3

由此可見，五重系統的設計複雜性和幾何結構方面取得了顯著的創新。諸如桶狀六邊形和菱形等非正多邊形的新增，使得構造密鋪圖案的多樣性大大豐富。五重系統也成為伊斯蘭世界中分佈最廣泛的系統。

下圖3。3。3a-b展示了正五邊形和正十邊形的圖案線應用。正五邊形、正十邊形的圖案線依然不外乎銳角型、直角型、鈍角型、兩點型四種，只是圖案線的典型夾角變成了36°、72°、108°，在中空的鈍角圖案中構造薔薇花飾依然是工匠們的常見技法。

值得一提的是，五重對稱的幾何圖案體現了優雅的黃金分割，這是它們的固有特徵，如圖3。3。3c中的紅線與綠線的比例完美地契合1。618：1。這也是五角星圖案更受藝術家設計師青睞的原因。無論是世界各國的國旗、徽章、logo，還是兒童的塗鴉畫，五角星都是常見的元素。

圖3。3。3a 正五邊形的圖案線應用

圖3。3。3b 正十邊形的圖案線應用

圖3。3。3c 五重對稱圖案中的黃金分割

關於五重對稱圖案的設計作品，最常見的如圖3。3。4a-d，它基於正十邊形、正五邊形和桶狀六邊形組成的密鋪，重複單元是菱形。圖a的圖案是最經典的銳角型，圖案線夾角為36°。可以看到，正五邊形中的圖案線形成了標準的黃金五角星，桶狀六邊形中形成的是兩個半星，整體構成了8個五角星和兩個半星簇擁著中央的十角星的佈局。但換個角度看，五角星和十角星之間的空白部分恰好構成了完美的薔薇花瓣，和十角星一起組成了一朵美麗的十瓣薔薇花。這種巧合也是這種設計的獨特魅力所在。圖b的圖案仍然是銳角型，夾角擴大一倍變成了72°，形成的各種星星也自然豐滿了許多。圖c的圖案是鈍角型，夾角108°，此時五角星已經徹底消失不見，變成了五邊形，它與周圍的空白一起組成了形如燕子風箏一樣的圖案。圖d的圖案是兩點型，夾角108°，它與圖c大致類似，但各個拼塊之間形成了互鎖結構。

圖3。3。4

圖3。3。4a-b的底層密鋪圖案不同，但重複單元依然是菱形，同為夾角36°的銳角型圖案線。圖a的底層密鋪用等腰梯形替換了圖3。3。3種6個正五邊形中的4個，從而在中央形成了一個與梯形的長邊等長的菱形。顯然，等腰梯形是桶狀六邊形的一半，其內部新增圖案線之後形成了一個半星。菱形中形成的圖案是一個並不正交的十字形，形如前文圖3。2。8a“真主的氣息”中凹陷的那一側的變形。主體圖案十角星依然與周圍的空隙形成了薔薇花，但和菱形相接處的兩片花瓣出現了微妙的變化。圖b的底層密鋪則把全部的正五邊形都替換成了等腰梯形，在重複單元的中心留下了一個凹六邊形。最後的圖案中又出現了完整的薔薇花，五角星則全部消失不見，變成了半星。

圖3。3。4

圖3。3。5a-b展示了兩個底層密鋪的重複單元是矩形的例子，圖a的密鋪構造大致與圖3。3。2b相同，但矩形的中央用4個等腰梯形和一個大菱形代替了四個五邊形和窄菱形。圖案線是夾角36°的銳角型圖案線，五角星簇擁著十角星，同樣形成了完美的薔薇花圖案。圖b刪除了所有的五邊形和菱形，取而代之的是6個等腰梯形和一個凹六邊形。圖案線仍然是夾角36°的銳角型圖案線，凹六邊形中形成了兩個不規則的六邊形緊夾一個菱形的圖案。而五角星自然消失不見。

圖3。3。5

正七邊形、正十四邊形——七重對稱系統——月圓之數

由七重系統產生的模式自然是七角星和十四角星。然而，與五角星和十角星僅僅表現出優美的黃金比例不同，七角星和十四角星之間的比例要複雜得多。七重系統的設計難度較大，因此歷史作品也相對稀少。但是，伊斯蘭教喜歡數字“7”。他們認為，天堂分為“七重天”：一重天為純銀天，二重天為純金天，三重天為珍珠天，四重天為白金天，五重天為銀天，六重天為紅寶石天，七重天為極樂天。教徒們在開齋節常念七大讚詞，依照傳統習慣要念七遍。而數字“14”對於使用陰曆的伊斯蘭世界也有著不解之緣，因為月牙初現之夜是新的月份的開始，到了第14天夜晚即會迎來滿月。

圖3。3。6a和圖3。3。6b展示了正七邊形和正十四邊形的圖案線應用。此時圖案線的夾角已經不是整數。因此我們換了一種表示方法，如果圖案線與相鄰邊上的點相連就記作“S1”，隔一條邊相連就記作“S2”，以此類推。於是正七邊形就有S1~S3三種應用，其中S2和S3是銳角型，S1是鈍角型，可以在中央構建薔薇花。正十四邊形有S1~S6六種應用，其中S4~S6是銳角型，S1~S3是鈍角型。兩點型亦可以用此法表示。

圖3。3。6a

圖3。3。6b

圖3。3。7a-b是由正七邊形和五邊形組成的底層密鋪所構成的設計。可以看到，把圖中央的6個正七邊形的中心彼此相連構成了一個桶狀六邊形，這就是圖案的重複單元。正七邊形中央的兩個五邊形並非正五邊形，其中一條邊明顯短於其餘4條。圖a應用的是S3銳角型圖案線，最終得到了纖瘦的七角星和變形的五角星。圖b應用的是S2銳角型圖案線，夾角較大，因此得到的星形非常豐滿，而五角星則出現了很嚴重的變形。

圖3。3。7

圖3。3。8展示了正十四邊形密鋪圖案的兩種構造。方法與前文講述的正十邊形密鋪的構造法相同。但由於多邊形邊數的增加，構造過程也更為複雜。菱形仍然是極好的重複單元，其內角為3π/14和4π/14。我們可以在中央填充等腰梯形、五邊形、六邊形等圖案。要注意，此處的五邊形仍然不是正五邊形。

圖3。3。8

圖3。3。9是由以上兩種密鋪結構創造的設計，二者同為S6銳角型圖案線。圖a中的十四角星被半星和不規則的五角星環繞。它們中間所構成的空白區域又一次形成了薔薇花的花瓣，構成了一朵美麗的十四瓣薔薇花。圖b大同小異，只是五角星全被半星取代。中央不規則的十邊形拼塊中形成的圖案有如一隻伸展開四肢的企鵝。

圖3。3。9

青山不改，綠水長流，在下告退。

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