整個數學的基礎是什麼？整個數學推理是關於什麼的？要回答這樣的問題，可能需要首先理解當代三大數學哲學，即形式主義、邏輯主義和直覺主義。典型的數學大師有希爾伯特（形式主義者），弗雷格（邏輯主義者）和龐加萊（直覺主義者）。
這三種哲學是在皮亞諾的五個算術公理之後不久出現的，該公理出現在《數學哲學導論》中：
0是一個數字。
任何數字的後繼都是一個數字。
沒有兩個數字的後繼數是相同的。
0不是任何數字的後繼數。
屬於零的任何屬性，以及屬於每一個具有該屬性的數字的後繼數的任何屬性，屬於所有數字。
皮亞諾確實找到了一個好方法，可以把整個算術過程簡化為幾個公理，他受到科學界大部分人的尊敬。然而，弗雷格繼續提出這樣的問題：整個數學是怎麼回事？數字是綜合的還是分析的物件？弗雷格在他最著名的作品中說：
一個命題為真和它被認為的不是一回事——《算術基礎》（1884）。
對他來說，在“北海的範圍是10000平方英里”這句話中，“10000平方英里”是關於北海的一種分類（透過“分類”，我們可以說它是一個“集合”）。但為了確定算術屬於哪種集合，弗雷格運用了大量的邏輯哲學定義。也就是說，弗雷格將所有的數學實體簡化為：
康託集合論的集合，
弗雷格自己規定的一些形成規則，
一些哲學思想的組合。例如，對他來說，北海只有存在才能為真（它是一種合成的物件），而任何數字概念，或任何數學真理，都需要遵循邏輯哲學規則才能為真（因此，數學物件將是分析性的）。
你可能會注意到，弗雷格不是一個經驗主義者。但他錯了嗎？例如，國際象棋並不能很好地代表兩個王國之間的戰爭，但是我們可以基於邏輯規則（即基於遊戲規則）去定義什麼是象棋比賽中的真正好的一步棋。
弗雷格在做一項非常艱鉅的工作，因此他現在被認為是命題演算的主要名稱之一，他是分析哲學之父。
然而，羅素在1902年給弗雷格寫了一封非常著名的信，在信中他注意到康托爾的集合理論（以及弗雷格的思想）中有一個悖論。弗雷格不僅承認了其中的矛盾，而且還在他的第二部鉅著《算術基本定律》中加入了關於羅素信的註釋。
事實上，澤梅洛（ Zermelo）早前就發現了這個悖論，但注意到它非常重要的是羅素。這就是我們實現悖論的方式：
現在讓我們集中注意這個概念：不屬於自身的類。因此這個概念的外延（如果我們可以談論它的外延的話）就是，不屬於自身的那些類構成的類。為簡化起見，我們稱它為類K。那麼，這個類K是不是屬於自身。首先，讓我們假定它屬於自身。如果一個東西屬於一個類，那麼它就歸屬於以這個類為其外延的概念。這樣，如果類K屬於自身，那麼它就是一個不屬於自身的類。因此我們的第一個假定導致自相矛盾。第二，讓我們假定類K不屬於自身，這樣它就歸屬於自身為其外延的概念，因此就屬於自身。這裡我們又一次得到同樣的矛盾。
羅素提出這個悖論後，邏輯學家和數學家們開始問：“那麼，什麼集合可以包含，什麼集合不能包含？”從那以後，沒有人知道該做什麼。
誠然，羅素試圖找到一個解決方案，但正如維特根斯坦注意到的那樣，他在武斷地審查悖論。維特根斯坦在迴應羅素時寫道：
只有表達的描述（即邏輯中的任何句子）是可以預設的。維特根斯坦《邏輯哲學論綱》（1921）。
因此，羅素和弗雷格似乎沒有建立起一個完整的數學基礎——或者，至少他們的工作是不完整的。由此形成了關於數學基礎問題的三種主要立場：
邏輯主義、形式主義和直覺主義。
邏輯主義
根據論文《尋找數學根》：
法語單詞“Logistique（邏輯）”是由路易·庫蒂拉（ Couturat ）等人在1904年的國際哲學大會上引入的，從那以後就被羅素等人使用。
這篇邏輯學論文可以總結如下：
純數學是邏輯的一個分支。《數學的本質》（1933）。
其中一些最重要的專家包括羅素， 弗雷格， 庫蒂拉和澤梅洛；根據布萊克的說法，我們可以在萊布尼茨身上看到：
整個邏輯概念的萌芽。《數學的本質》（1933）。
這種解釋的主要原因是，函式的概念是由萊布尼茨引入的，它使空間計算的算術化成為可能（也就是說，不再需要繪製幾何圖形來計算其性質）。讓我們看看萊布尼茨在寫給惠更斯的一封信中是怎麼說的：
（……）透過計算來分析一個圖形的性質往往是困難的，即使代數計算已經完成，要找到非常方便的幾何證明和結構就更困難了。但是這個新的特徵（函式），跟隨視覺圖形，不能同時給出解決方案，結構和幾何演示，以一個自然的方式和一個分析，即透過確定的程式。威廉·萊布尼茨的哲學論文和文學（1989）。
萊布尼茨的函式為算術提供了幾何計算的可能性。因此，數學家們發現了使用更多符號計算的新方法。例如，他們發現了邏輯的新可能性（如布林的邏輯）。
然後，邏輯學家認為這些函式可以幫助描述整個數學推理的基礎。
形式主義
根據布萊克的觀點，形式主義者認為純數學是“符號形式結構的科學”。他們否定了
數學概念可以簡化為邏輯概念。《數學的本質》（1933）。
實際上，在對數學基礎的討論中，形式主義者創造了邏輯和數學之間的對立。
主要形式主義者是大衛·希爾伯特。他是第一個使用“形式主義”這個術語的人。雖然，他並沒有打算用它來指代數學中的哲學立場。
在他關於數學基礎的論文中，希爾伯特確實使用了德語單詞“形式主義”，但並不是用來表示數學物件本質問題的哲學態度。形式主義意味著形式系統或形式語言，兩者都是數學邏輯的技術概念，這個術語被使用僅僅在技術意義上，即形式化是邏輯研究的必要工具。
“形式主義”最初是由魯伊茲·布勞威爾（Luitzen Brouwer）作為哲學立場提出的。對布勞威爾來說，希爾伯特是基礎數學。
布勞威爾否定希爾伯特的哲學，希爾伯特自己總結如下：
如果任意給出的公理彼此不矛盾，那麼它們為真，由公理定義的事物存在。
布勞威爾的批評確實中聽，然而，希爾伯特的方法為歐幾里得幾何奠定了第一個一致的基礎（這讓整個科學界都很高興）。
下面是形式主義哲學的另外兩個重要名字：卡爾納普和奎因（ Carnap and Quine）。
卡爾納普被認為是最偉大的邏輯實證主義者（或邏輯經驗主義者）之一，他也是‘科學哲學’這一新領域的創始人之一，後來又成為語義和歸納邏輯的主要貢獻者。
他對數學基礎的看法是：
形式主義的觀點是正確的，它認為系統的構建可以純粹形式地實現，也就是說，不考慮符號的意義。
另一方面，奎因被認為是20世紀後半葉最有影響力的哲學家之一。在他關於本體論、語言哲學和認識論的文字中，他實現了數學哲學。讓我們來看看。他否認了：
試圖將外部世界的知識建立在所謂的超驗和自我確認的精神體驗之上。
對他來說：
“自然化認識論”的任務，只是對科學知識是如何獲得的給出一個心理學解釋。
他明白數學理論是科學理論的重要組成部分，它們也是由經驗證實的。所以奎因認為“經驗”將負責決定一個命題在形式科學中是真還是假，也就是數學。這篇論文是他分析命題和綜合命題之間的整體統一的一部分。如果這種統一性得到證實，那麼形式主義就只需要以經驗為基礎來建立它的基本命題。
直覺主義
布勞威爾是第一個給“直覺主義”和“形式主義”賦予哲學意義的人。他認為邏輯主義和形式主義之間沒有區別。在他看來，形式主義者和邏輯學家只是在證明數學實體在語言上的存在。
布勞威爾相信數學哲學不僅需要一致性。對布勞威爾來說，需要直覺來證明數學實體的“存在”。然而，這種直覺主義的要求似乎既不實用，也不具有數學生產力。
除了布勞威爾，直覺主義還有其他一些重要的名字，如克羅內克和海丁。但是沒有一個比龐加萊更有名。龐加萊想為康德辯護，使其免受“新邏輯”的攻擊（例如，弗雷格直接反對康德的數學哲學）。
事實上，隨著一些“反直覺”科學理論的出現，如達爾文的進化論、非歐幾里得幾何，以及後來的愛因斯坦的相對論，康德的“純粹的直覺形式建立了整個理性思維”的思想正在失去競爭力。所以龐加萊試著調和康德先驗直覺的純粹形式和他所理解的科學家的創造性。
總結
邏輯主義：數學的基礎可以透過形成規則，或“語法”規則，和一些哲學概念等邏輯元素來實現。
形式主義：形式元素可以作為數學的基礎，但不一定是邏輯元素（我認為哲學性越低越好）。
直覺主義：指出非形式但“直覺”的學科是數學基礎的基礎。我想說的是，他們並不排斥關於數學本質的深刻哲學問題。
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