在往期 股票下車的最佳時間點和撲克遊戲 用到了翻紅牌或黑牌的模型。

今天繼續。

玩家入場，買下若干籌碼（就15個籌碼吧）。

莊家拿出6張牌（數目小計算簡單~），3紅3黑。

現在，玩家每把可以用若干籌碼壓黑或紅。請注意，莊家是在玩家押注之後行動。

莊家可以從牌堆裡，特意選擇一張紅牌或黑牌。但是，每把選過之後，那張牌就進入墳墓。所以莊家手頭的牌越選越少。第6把的時候，玩家可以100%地提前押中！

然後，每把若莊家贏，則玩家失去籌碼；反之，莊家向玩家支付押注等同的籌碼。下一把，玩家可以把贏來的籌碼繼續壓上。玩家輸光遊戲結束，玩家玩完6局，遊戲也結束。玩家只玩5局，決定走人，那是做慈善……從理性人角度，入局的玩家只要還有籌碼，就應該完後玩。他的預期收益在後面。

現在問：玩家第1和2把應該各壓上多少籌碼？以及這個遊戲對莊家和玩家，哪個更有利？

稍微解釋一下，顯然玩家第一把不應該壓上太多。用極端法，若他全部壓紅，則莊家拿出黑牌，直接送出局。

上一期 用預知替身玩男生女生配？ 姑且不考慮其中超能力的機理，只要知道主人公阿強就是能預知莊家每輪的選擇。

當出現連續的二選一選項時，阿強能夠以二進位制的方式，看到序列的走向。比如說，如果猜硬幣正反的話，阿強可以在遊戲開始的瞬間，看到一組0/1序列，那就是後面連續的硬幣正反結果。所以他的替身名是 choice。確實，這個能力稍顯雞肋。但是還是讓阿強再次振作起來，決定去碼頭搞點薯條money。贏一筆錢就和阿花私奔到埃及。附近碼頭上有家為碼頭工人和水手開設的賭場，裡面有種玩法叫“癟三”（畢竟男生女生配或黑白配，實在違和）。遊戲規則桌面上有兩個圓圈，一個裡面寫著“大”，另一個寫著“小”。莊家也就是賭場一方，有兩個牌子，上面也分別寫著大和小。每局開始前，賭場荷官把一個牌子放到一個罩子下，玩家看不到裡面。兩個玩家，比如說阿強和阿花，按賭場指定的順序，把賭注籌碼壓在“大”或“小”圈裡。考慮最壞的情況，我們假定，賭場每輪都要阿花先下注，然後阿強跟著來。最後，賭場掀開罩子，向眾人展示牌子。如果，阿花、阿強和賭場的結果完全一樣（就是三家同大或同小），則賭場輸；反之，則阿花和阿強輸。但是現在阿強有了超能力，他可以和阿花制定一套戰略，保證自己一方儘可能獲利。比如說最好想的策略，阿強在遊戲開始後，看到未來開大小的結果序列是：小小大大大小大小大大大大小大小小大。他統計出“大”多於“小”，所以在阿花第一輪憑運氣下注的之後，阿強可以壓“大”——向夥伴傳遞一個資訊：後面大多於小。然後阿花可以每輪都壓大，保證勝率大於50%。問題是阿強年輕氣盛，貪多務得。他想要一個9局裡，起碼贏下6局的對策？賭場當然不是善茬，所以阿花他們在賭局開始後，就不會做出任何授人以柄的小動作，也就是說，完全依賴事先的策略行事，而不會用眼神或肢體偷偷傳遞額外資訊。朋友們，如果你是阿強的話，你能想出來嗎？

該問題來自IBM。上一期可能是#小體操欄裡，唯一一次在評論裡沒有出現可用答案的一期……有朋友指出，9局6勝是很強的條件。

更早它出現在名為RAD挑戰賽的網站上——但這個網站早已不在了。

以下是阿強和阿花為了勝利而遵循的規則。

首先，因為第一局超出了阿強和阿花的掌控，除非碰運氣，沒有必勝的方法。所以我們只考慮最壞的情況。第一局始終“放棄”。則後面8局，阿強要拿下6局。

棄掉第一局，則阿強可以用第一局的自己出牌來傳遞一個訊號：阿花在2-4局裡，出他在本輪裡的給出的選項。

若無特殊情況，阿強的選擇就是後面3局裡，莊家至少會出兩次的牌（主要牌）。

然後，若2-4局裡，莊家的牌不是完全一樣，則必然是2：1。這樣一來，有一把阿花是錯的，故而阿強可以利用本來就棄掉的這一把來傳遞5-7局裡，莊家的主要牌。

就是阿強要利用好棄局裡傳遞資訊的機會。

若2-4局裡莊家始終選大或小，則阿強可以棄掉第5局，用來傳遞6-8的莊家主牌。然後在6-8的棄局裡（若無棄局，則已經滿足6勝）揭示第9局莊家的牌。

現在的規則，僅在以下所有情況同時出現的時候，無法簡單地達成6勝：

2-4局和第5-7局都是2：1的情況，且第8局和第9局，莊家的牌不同。

我們把上面稱之為例外情況。

我們根據5-7局裡，非主牌（就是2大1小裡“小”）出現的次序（第5、第6、第7），分為三種情況討論。

情況1：例外牌出現在第5局。

此時，阿強應在2-4局裡偏離了最開始的簡單策略，多放棄一局！

阿花顯然可以知道哪一局是阿強故意輸掉的（因為阿花和莊家一致，而阿強給出了錯誤選項），故而阿強可以利用故意棄掉的一局所在的次序來傳遞額外的資訊。

比如說，阿強和阿花在2-4局裡，本來應該拿下第二局和第四局。這樣阿強可以選擇棄掉第二局或第四局。就是序數小的局或者序數大的局。藉此傳遞第八局的情況。

同時，阿花發現阿強棄掉了必得的一局，就知道出現了例外情況。這同樣傳遞了豐富的資訊：如第八局和第九局裡，莊家的牌是不一樣的。如果第八局莊家出大，則第九局裡必然是小！以及，5-7局裡哪局是例外——第5局。知道第5局是因為，2-4的棄局規則，本來就是假定：例外牌出現在第5局。

如此一來，阿強在2-4局裡棄掉了2局，但是完整拿下了後面5局。至少6勝。

情況2：例外牌出現在第7局。

前面不變，阿強改變5-6局的策略，他故意棄一局。與上面的分析類似。請注意，由於阿花在5-6局時就能意識到這一點，則他們可在第七局獲勝，所以他們仍能贏下6局。（2-4 兩局，5-7兩局，7-8全勝）

情況3：例外牌出現在第6局。

阿強若預知到這一情況，會提前佈局！

他在第一局時給出的訊號是錯的！實際上是2-4局裡莊家選擇的少數牌。但是阿花在當時不知道，他會按基本約定，在2-4局裡出，阿強第一局出的牌。

然後在第四局開始之前，意識到問題所在。進而瞭解到下述資訊：

第5-7局是2：1的情況，且例外牌出在第6局。另外；第8局和第9局，莊家的牌不同。

同時，阿強在2-4局裡，用兩次棄掉的局，傳遞的資訊分別是5-7局裡的主牌情況，以及第8局裡莊家的選擇！

如此一來，所有情況都被討論到。阿強和阿花可以贏下至少6局。

實際上，他們還可以13局贏9局，乃至18贏13。不過後面兩種的策略就非常、非常複雜了。

IBM向公眾徵解：當n走向無窮大時，他們能夠贏下的局數的佔比是多少呢？前面是6/9，9/13，13/18……

講道理，目前這應該還屬於數學上的未解難題。感覺有戲的朋友，不妨一試。如果真的解了出來，肯定能發在大刊上。