對文科高等數學教學的回顧
在二十幾年前，筆者曾經擔任了上海師範大學人文學院文化傳播系96級一年級新生必修課“文科高等數學”的教學工作。鑑於當時國內流行的幾本文科高等數學的課本沒有擺脫一般理科高等數學的基本思路，偏重於數學的技術的一面，而比較忽略文化與應用的一面，所以筆者就採用了美國的丹尼爾·D·本尼思編寫的《文科應用數學》（［1］，原作還有另一漢譯本［2］，兩個譯本均略有刪節）一書來作為教材。從此，筆者開始有了一種新的教學體驗。
《文科應用數學》是一本美國大學文科教材，與國內同類教材相比，有很大的差異。它的教學內容分別是：
第一章、“（數學）模型”；本章為了想引起學生對數學的興趣，介紹了有趣的斐波那契數列及其應用、天文學中的博德定律（實際上是一個數列模型）、連鎖信及生活中的一些數列模型、二進位制數及其與十進位制數的互換、自然界與人類活動中的函式關係舉例（特別突出了實用的表格法，強調了指數與對數函式的應用）、魔術方陣（即幻方）及其簡單的推廣、曾廣為流行過的十五個魔塊遊戲中的數學、猜數魔術的原理、日常生活中的正多邊形幾何模型。
第二章、“邏輯品味”；這一章用簡單的例子介紹了在數學中是如何進行推理的。首先講了什麼是推理、什麼是歸納推理與演繹推理、以及什麼是公理和定理，在所舉的眾多生活例項中，推斷出直觀上不易查覺的美國總統選舉制度中的漏洞（即有可能使一個最得人心的候選人落選）一例尤其令人感到興趣；還介紹了常用的三段論法，並講了經常會出現的邏輯謬誤；最後介紹了簡單的開關邏輯線路圖與集合文氏圖的畫法、考古學中辨認古代文字的一種簡單推理方法。
第三章、“數論”；這一章簡單介紹了初等數論及其應用。講了素數及有關的一些著名命題、最小公倍數及其在配平化學反應方程式中的作用、可除性檢驗法、最簡單的同餘算術及其應用（生肖年份的確定、九餘數驗演算法等）、某一日期是星期幾的推算方法、同餘在密碼編制和密碼破譯中的簡單應用。
第四章、“幾何巡禮”；與以前學生學過的幾何課程不同的是，這裡著重介紹幾何學在生活中的各種應用，如黃金矩形、達·芬奇的人體比例關係、繪畫透視原理、戲劇舞臺上的對稱佈置、古老的尺規作圖方法、心臟病學中用於確定心臟的方位的一種三角形方法、礦物學中確定化合物成分的一種三角形圖解法、著名的畢達哥拉斯定理（即勾股定理）的圖解證明及應用、圓周率的正多邊形逼近尋求方法、圓錐曲線的各種實際用途、蜜蜂用極座標來向同伴報告食物的位置、三角函式在測量中的應用、生態學中捕食者與被捕食者相互影響關係的曲線圖等。
第五章、“拓撲學入門”；本章介紹了拓撲學的研究物件、閉曲線與單連通區域、牟比烏斯帶、四色問題、網路圖的應用（一筆畫問題、電話線路的安排數目等）、多面體的尤拉公式、突變理論的通俗例子。
第六章、“數學分析入門”；這一章是講一元微積分。首先講了函式的概念與應用，重點是函式在數理語言學、音樂理論和經濟學中的應用；然後介紹了直線斜率和函式變化率的概念，並直觀地引入極限的概念；最後透過解決求曲邊三角形面積和曲線切線斜率的問題，簡要介紹了微積分的基本思想和方法。
第七章、“機率和統計”；講了機率的概念和計算機率的基本公式、孟德爾遺傳理論的數學原理、心理學中的主觀機率、期望值的概念與計算、排列與組合公式、破譯密碼的機率方法、考古學家使用的一種機率推斷方法。
第八章、“計算機與數學”；舉例介紹了計算機的用處和用BASIC 語言編寫程式的初步方法。
該書作者在前言中說：
“
“本書提供一些新穎而有趣的數學題材，介紹各種各樣的應用方法以及數學發展史上一些重大事件，並配有大量有趣的練習題。為了尋求新的概念和應用方法，本書作者查閱了文科各專業大量的圖書、雜誌。這一艱鉅勞動的成果體現在本書得以把數學應用於各個學科領域中。”
”
確實，很少見到寫教材的人這樣刻意追求用各種生動的事例吸引學生來讀數學，並且蒐集範圍這麼廣泛的數學應用的例子，也很少見到如此之多的編排得誘人的練習題（有相當多的教學內容是放在練習題中完成的）。作者還強調把具體的數學演算降到最低限度，為此，只用到了初等數學的知識，“沒有機械性操練”，“採用開門見山、深入淺出的方法，一開始就注重用例項說明所討論的各種數學問題的實際應用”，這是為了“不讓數學原理的燦爛光輝被數字和計算所遮蓋”（見前言）。
在期末考試中，除了做一些結合平時作業的題目外，重點是讓學生寫一篇題目為“數學隨想”的短文，談學習《文科應用數學》的收穫與體會。在這篇短文中，不少同學說到原以為進大學後，可以擺脫枯燥乏味的數學課了，哪知第一學期就必須學習文科高等數學，但幸好遇上了這本《文科應用數學》，才沒有重複以往學習數學的不愉快經歷。絕大多數學生都對這本教材的優點作了充分的肯定，幾乎眾口一詞地讚揚這本書“趣味性強”，“涉及面廣”，“實用性強”，“使我們每個人覺得學數學也是那麼其樂融融”，“讓人真正體會到數學的妙趣和重要作用”。很多同學還與中學數學填鴨式的教育方式和脫離實際，進行了對比，感覺反差太大。他們用“死套題型”、“真的不能理解”、“惡大於喜”、“無用”等詞彙來形容他們學習中學數學的情形。而《文科應用數學》使他們對數學產生了全新的認識，認為“當數學不應用於具體問題時，數學就只是一種數學遊戲”。很多學生還談了自己對學習的愉快感受。一個學生寫道：“自從採用新教材（指《文科應用數學》）以來，我們面前豁然開朗，出現了一條條通往美麗花園的光明大道。書中採用初等的觀點，闡述了數學中許多最基本的思想和內容。從古老的斐波那契數列到現代的生物鏈迴圈，各種新鮮和動人的課題，以極通俗和形象的方式出現在我們面前，它使我們大開眼界，至少使我們有勇氣邁進數學花園大門。我相信我們中的不少人會因此而喜歡數學。”筆者注意到，透過文科數學的學習，學生對人類文化的其他領域有了進一步的瞭解，而這正是我們所希望見到的情形。例如，有一個學生這樣寫道：“我終於能利用投影幾何學來欣賞世界名畫了，也終於敢去翻翻古文字書籍的介紹了，”“也可以看著蜜蜂飛來飛去，心中對它的舞蹈之迷蕩然無存。”當然，也有一些同學說，《文科應用數學》裡所講的數學，對中國的學生來說“過於簡單”，可以適當加深。另一位學生這樣寫道：“我從來沒有看到過一種數學教材如此地通俗易懂，也從來沒有看到過涉及範圍如此之廣的數學讀物，它與考古學、天文、生物學、商業、化學、計算機、地理學、礦物學、音樂、物理學、心理學等等都有聯絡，書中還有數學在邏輯、娛樂、變戲法和數學遊戲方面發揮作用的有趣例證，它所設計的大量習題做起來更是興趣盎然。”還有一位學生說：“它的通俗，消除了我與數學之間的隔閡感，雖說與之交往了十幾年，但是總沒能看清它的真正面目。高度抽象的形式常會使我們感到神秘莫測，過分的理論、程式教學更猶如雪上加霜，無法揭開它的面紗。而今，終於有了一種撥雲見日的感覺，學到了實際，學到了生活。”
這次教學經歷給予我們的啟示至少有以下兩點：
一，作為一門讓文科學生接受普通教育的課程，文科高等數學課不一定要講比初等數學高一個層次的大量傳統高等數學技術內容。這是因為我們的目標是，讓文科學生了解與欣賞作為一種人類文化遺產的數學，並掌握一些常用的簡單的數學方法。（有一個學生說得很實在：“真的有點數學思維，無論對生活、文藝創作都有好處。”）因此，筆者認為，應當把文科數學定位在主要是用初等數學（包括簡易微積分）來講解數學對人類社會與文化發展的實際應用這一方面。在這裡主要是強調數學的思想、文化與應用的一面，介紹數學與人類社會方方面面的聯絡，以增進學生對人類文明的理解。《文科應用數學》告訴我們，這是能夠做到的，而且也能收到良好的教學效果。只要突破了“高等”兩字的框框，就可以開啟我們的思路。一個學生這樣寫道：“衡量一本教材的好壞不應以內容的難易為標準，而重要的是看其是否具有實用價值。”還有一個學生則指出：“一味地追求深奧與玄妙，只會削弱數學自身的內在價值與外在魅力。”
二，目前這一代文科學生與從前的學生大不一樣。他們的形象思維能力較強，思想比較活躍，知識面也比較廣，渴望瞭解世界和汲取新知識。面對這樣的學生，內容單一貧乏、面目嚴肅呆板的數學課程已經很難有吸引力了。而如果從直覺和實用的角度出發，用開門見山、直截了當的方式來介紹數學，儘量提供比較廣泛的背景知識，並象《文科應用數學》那樣，採用一些“開始於娛樂和遊戲而結束於具有重大意義的實際應用的生動例項”，避免複雜的推理和演算，則教學效果會好得多。同時，練習題的編寫和教學方法的選擇也應當充分考慮到文科學生的特點與需求。
參考文獻
1． 丹尼爾·D·本尼思．文科應用數學．鄭州：河南教育出版社，1992
2． D·D·貝尼斯．文科數學——概念與應用．北京：科學普及出版社，1988