前
幾天轉發了一個關於“
自我描述數
”的影片
《數理謎題：自我描述數》
（見下），有朋友說沒太看明白。這確實是一個有點繞的數學概念，並且這個影片的講解者（麻省理工大學的數學家Tanya Khovanova）講得也不太清楚有點跳躍了，我在網上搜了一下似乎也沒有相關的介紹性資料（或者只有一些最簡單的介紹而沒有推理過程），所以寫這篇小文談一下“
自我描述數
”。
（TED-Ed影片：
達芬奇謎題）
以下內容包含5個部分：
1）什麼是“自我描述數”；2）“自我描述數”的特徵；3）低位“自我描述數”的窮舉；4）高位“自我描述數”的一般公式；5）從最小到最大的“自我描述數”
。
1.什麼是“自我描述數”？
第一件事當然是界定定義，所謂的“自我描述數”，漢語一般翻譯成“自描述數”，英文是self-descriptive number （自我描述的數字），或者 autobiographical number（自傳式的數字），顧名思義，即一種能
透過數字本身描述該數字自身特徵的數字
。
用一句話來概括這種透過數字自身來描述自身特徵，即：
這個數字中每一個位數上的數都是該位數的數值所出現的次數
。（位數從0開始計，從左到右以此類推）
這句話有一點繞，舉一個具體的例子就一目瞭然了，就以該影片裡給出的兩個具體數字
1210
和
3211000
來說明它們為什麼是自描述數。
根據上述的位數規則，每個數字的位置編號從左到右分別是0、1、2、3……，所以對於1210來說：第一位數，即0號位上的取值便是該位置號“0”在這個數字中出現的次數，“0”在1210中出現了1次，所以第一個數即0號位上的值是1；第二位數的取值是該位置即1號位的“1”在這個數字裡出現的次數，“1”出現了兩次，所以這個位置上的值是2；以此類推，第三位數字的取值是“2”出現的次數1，第四位數字的取值是“3”出現的次數0。
對於3211000來說：“0”出現了3次，所以第一個數是3；“1”出現了2次，所以第二個數是2；“2”出現了1次，所以第三個數是1；“3”出現了1次，所以第四個數是1；“4”、“5”、“6”均出現了0次，所以最後三個數（4/5/6號位）均是0。
這就是
自身能夠描述自身、自己講述自己的“自我描述數”
。
2.“自我描述數”的重要特徵
從“自我描述數”的定義本身，我們可以立即發現它的一個重要特徵，可以稱其為
“定理一”：一個自我描述數的所有數字的和等於它的位數
。
原因是很簡單的：因為每個數值都是其位置號所出現的次數，是對位數的統計，所以次數的總和必然等於這個數字的總位數。
比如上述中的4位數的自我描述數1210，便有
1+2+1+0=4
；
上述中的7位數的自我描述數3211000，便有
3+2+1+1+0+0+0=7
。
這個
定理一
看似簡單，但對我們下面的推理非常重要。
另外一個也是看似簡單但也很重要的問題是：
自我描述數的第一個數可能是0嗎？（即0號位上的數可能是0嗎？）
假設0號位上的數值是0，這說明該數字中沒有一個“0”，這與“0號位上的0”相悖，所以不能成立，所以
自我描述數的第一個數字不能是0
。所以，0不是自我描述數。
這句話看著很簡單，但它有一個重要的含義：
自描述數的第一個數字一定是大於0的。也就是說，一個自描述數中，一定有“0”，但第一個數一定不能是“0”
。我們可以把這句話界定為
“定理二”
。
搞清楚定理一和定理二，下面的推理就比較簡單了。
3.低位“自我描述數”的窮舉
在清楚了“自我描述數”的定義後，我們可以試著窮盡十進位制中的自我描述數。自然是從小到大來嘗試。
根據“
定理一
”，我們可以立即斷定：
個位數中沒有自描述數
。因為一個數據要滿足既要有0但第一個數又不能是0，它必須至少是個兩位數。
那麼兩位數中有沒有自描述數呢？
對於兩位數來說，要滿足既要有“0”但第一個數不能是“0”，它就只能是“x0”，其中“x”的值是對“0”出現次數的描述，所以它只能是“1”；這個數里既然有“1”，那麼“1號位”上的數就應該是“1”，這與“1號位”上的“0”相悖，所以
兩位數中也沒有自描述數
。
對於三位數來說，能符合定理一和定理二的三位數只有如下5個：300，201，210，102，120，而這5個數均不是自我描述數（簡單的排除法：300中0沒有出現3次，201、210中0沒有出現2次，102中2沒有出現2次，120中1沒有出現2次），所以
三位數中也沒有自我描述數
。
對於四位數來說，我們可以做如下窮盡過程：1）假設第一個數字如果是4，後面要有4個0，這就變成五位數了，所以排除；2）假設第一個數字如果是3，說明後面3個數字都是0，而這不符合定理一，所以排除；
3）假設第一個數字如果是2，說明後面三個數中有2個0，根據定理一另外一個數也是2，只有2200和2020兩種可能，透過檢驗2200排除，2020是自描述數；4）假設第一個數字是1，後面只能有1個0，而另外兩個數加起來得是3，所以另外兩個數是1和2，所以這是一個由兩個“1”、一個“2”、一個“0”組成數字，沒有出現“3”，所以“3號位”也就是最後一位數是“0”，出現了一個“2”，所以在“2號位”上的數是“1”，所以這個數字是1210
，這與上述影片中給出的例子是相符的。
也就是說，在
四位數中有兩個自我描述數：1210和2020
。
上面我們透過窮盡法確定了一位數、兩位數、三位數中不存在“自我描述數”，併成功找出四位數中的兩個“自我描述數”。那麼，更高位數的“自我描述數”如何尋找呢？比如這個影片中要求找出十位數的“自我描述數”，如果用這種窮盡法尋找，那就太辛苦了，找是能找得出來的，但是耗時肯定太長了。
所以我們要尋找一般性的方法。
4.高位“自我描述數”的一般公式
透過上述窮盡的過程，尤其是對四位數中的“自我描述數”窮盡尋找的過程，我們可以知道，對於一個多位“自我描述數”的尋找，第一個數字的確定非常重要，這對我們探尋一般性方法非常重要，即
“自我描述數”的第一個數和它的總位數是什麼關係
？這是找到一般性公式的核心焦點。
即要回答兩個問題：
1）一個n位數的自我描述數，它的第一個數m的取值範圍與n有什麼關係？2）m如果確定，其他位置上的數與n、m是什麼關係？
以下，我們來逐漸縮小m的取值範圍。
首先，m不可能等於n，因為如果m=n，它後面需要有n個0，這就變成n+1位數了，所以m的取值一定是小於n；
其次，m有可能等於n-1嗎？如果m=n-1，說明它後面的所有n-1個位置上全部都是0，而這串數的總和是n-1，並不等於n，與定理一相悖，所以m的取值一定是小於n-1；
再次，m有可能等於n-2嗎？如果m=n-2，說明它後面有n-2個0，以及另外一個非零的數x，也就是說，這串數中
只有兩個數非0，一個是m，一個是x
，根據定理一（m+x=n），所以x=2，即
當m=n-2時，另外一個非0的數只能是2
。這是什麼意思呢？這句話的意思是
這兩個非0的數是相同的（出現了2次）
，即m=n-2=2，所以n=4，m=2，即：
只有在四位數的時候，m可以等於n-2，這時的自描述數是上面透過窮盡法找出來的2020
。這是
m可以等於n-2的唯一特殊情況
，在
其他任何情況，m都不可以等於n-2
。
即，透過上述推理，我們可以得到
m取值的最大可能值：m≤n-3
。
那麼m的最小可能值是多少呢？這要從另外一個思路來分析。
一個自描述數的第一個數字是m，表示這列數中有m個0，和n-m個非0。n-m個非0中，一個是m本身，及另外n-m-1個非0。根據定理一，m加上這n-m-1個非0的數之和是n，即：
除首數字後的n-m-1個數的和是n-m
，所以只能是n-m-2個1，和1個2。（舉例：5個非零數的和是6，那必然是4個1和1個2）
所以，
一個自描述數必然由這麼幾個數字組成：m、0、1、2
（其中0有m個，1有n-m-2個，2有1個）。
由於m表示的是“0”出現的次數，1表示的是“m”出現的次數，所以2表示的只能是“1”出現的次數。所以，如果一個自描述數中有“2”，那麼說明這個資料中有兩個“1”，即“1”出現的次數最多可能是2個，即：
n-m-2≤2
（見上，n-m-2是“1”出現的次數）。把這個式子略作變換，即
m≥n-4，這就是m的最小取值
。
所以，
一個n位自我描述數的“0”位數m的取值範圍是：
n-4≤m
≤n-3
即：
m的取值只可能是n-3，或n-4
。
當m=n-3時，該自我描述數中有
n-3個“0”、1個“1”、1個“2”
（注：根據定理一的要求，另外兩個數加起來必須是3，所以只能1個“1”及1個“2”），而此時，“2”要能夠成立，必須要求該資料中有兩個相同的數，即必須要求m等於1或者2。當m=1時，n=4，此時對應的自我描述數由
1個“0”、2個“1”、1個“2”
組成，即在前面窮盡找出的四位自我描述數
1210
；當m=2時，n=5，此時對應的自我描述數由
2個“0”、 1個“1”、2個“2”
組成，便是五位數中的自我描述數
21200
。
因為有且只有上述兩種情況，所以，
只有在n等於4或5的時候，m才可以等於n-3，這時m可以取值n-3的唯二情況，在其他任何情況下，m都不可以等於n-3
。
再依據前面推出的m取值範圍（n-4≤m≤n-3），我們可以得到當n大於五位數時m的具體取值（不是範圍而是取值了）。
因為：n-4≤m＜n-3
所以m=n-4（當n≥6時）
即，
在所有六位及以上的自我描述數中，其“0號位”上的數字m永遠等於n-4
。
而另外三個非零數之和必須是4（還是定理一要求），所以只能是兩個“1”和一個“2”。
所以，
所有n位（n≥6）自我描述數由如下幾個數字組成：有1個等於n-4的“m”、n-4個“0”、2個“1”、1個“2”
。
但是這裡面有一個特殊情況需要討論，即當n-4=2時，這個結論無法成立。即當n=6時，
m=6-4=2
，於是這個資料變成了2個“0”、2個“1”、2個“2”， “0”、 “1”、“2”出現的次數是二次，所以要有3個“2”來完成自描述，這又與整個資料中有2個“2”相悖，所以不能成立。所以
六位數中不存在自描述數
。
所以，上述結論要調整成：
所有n位（n≥7）自我描述數由如下幾個數字組成：1個等於n-4的“m”、n-4個“0”、2個“1”、1個“2”
。
這就完全正確了，因為此時n≥7，保證了n-4≥3，即m永遠大於2，與其他的數字不再有重複的可能性。
但這還不是最後的結果，距離最後結果只差一步：
確定位置
。
首先m的位置是早就確定的，它是對m個“0”的描述，它在“0號位”，它的值等於n-4；
其次，“2”是對2個“1”的描述，所以它的位置在“1號位”，即緊貼著m；
再次，兩個“1”中，一個是對“m”的描述，一個是對“2”的描述，所以一個在“2號位”，另一個在“m號位”即“n-4號位”。
必須要注一下：由於位數是從0號開始排序，所以第二個“1”所在的位置“n-4”號位便是整個資料的第“n-3”個數，它的後面有3個“0”，所以它的前面（即兩個“1”之間）有n-7（即n-4-3）個“0”。
所以，
一個n位（n≥7）自我描述數的一般式便是：
n-4,2,1
，……，1,0，0,0
（其中省略號表示n-7個0）
所以，
我們只需要根據位數，就可以立即寫出這個位數的自我描述數
。
而每個自我描述數之間的區別僅僅是：
第一個數“n-4”根據位數“n”變化，兩個“1”之間的“0”的個數（n-7）根據位數“n”變化，其他6個位置的數沒有任何變化
。這就是自我描述數的真正秘密。
所以，我們能立即寫出七位數的自我描述數是：
3211000
；
（第一個數是7-4=3，兩個“1”之間有7-7=0個0，其他6個數不變）
以及十位數的自我描述數是：
6210001000
；
（第一個數是10-4=6，兩個“1”之間有10-7=3個0，其他6個數不變）
這兩個數便是開篇影片中談到的兩個自描述數（其中的十位自我描述數便是影片中要解答的謎題）。
5.從最小到最大的“自我描述數”
基於以上推理，我們可以
迅速地
從最小到最大
寫出十進位制中全部的自我描述數。
如下。
1
位數：不存在
2
位數：不存在
3
位數：不存在
4
位數：1210和2020
5
位數：21200
6
位數：不存在
7
位數：3211000
8
位數：42101000
9
位數：521001000
10
位數：6210001000
11
位數：72100001000
12
位數：821000001000
13
位數：9210000001000
由於單個位置上的最大阿拉伯數字只能是9，所以用阿拉伯數字表示的
最大十進位制自我描述數便是13位的9210000001000
。
當然，如果超越阿拉伯數字的範疇，第一個數字用其他符號來表示，比如用英文字母abcd……來表示10/11/12/13……，那麼十進位制的自我描述數的範疇可以
繼續擴大、無限擴大
。
舉例而言，用英文字母中的第16個字母
“
p
”來表示25（=9+16）
，用第8個字母
“
h
”來表示17（=9+8）
，我們就可以分別得到一個29位
自我描述
數和一個21位自我描述數：
p2100000000000000000000001000
（29位自我描述數，第一個數為p=29-4=25，兩個1之間有29-7=22個0，其他6個位置的數無變化）
h21000000000000001000
（21位自我描述數，第一個數為h=21-4=17，兩個1之間有21-7=14個0，其他6個位置的數無變化）
以上便是對此前所轉影片“
自我描述數
”的全部解讀。能讀到這裡的人都是熱愛知識熱愛數學的人，謝謝。
（該封面圖來自於TED-Ed影片截圖）
（完）