女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。
密鋪理論研究人們如何用各種圖形覆蓋平面。中世紀的伊斯蘭工匠們開發了複雜的幾何密鋪圖案來裝飾他們的清真寺、陵墓和神殿。其中一些圖案被稱為girih（波斯人把幾何圖案稱為girih，直譯為“結”），最早出現在公元12世紀。最近的研究表明，這些中世紀密鋪中所包含的對稱性與西方在20世紀70年代首次發現的非週期彭羅斯密鋪中發現的對稱性相似。這些有趣的發現可能表明，這些工匠對數學的理解比我們最初認為的要深刻得多。
這種跨世紀的聯絡，為我們提供了一個絕好的機會，讓我們得以在數學和歷史背景下發現伊斯蘭建築的美。
1。伊斯蘭密鋪和傳統飾帶
伊斯蘭世界擁有豐富的遺產，建築、人行道和織物上的圖案中都融合著各種各樣的幾何結構。這種高度程式化的藝術形式經過幾個世紀的演變，從簡單的設計發展到了相當複雜的幾何，其中無不涉及高度的數學對稱。許多複雜的設計都可以用“搭接法”來構造，將圓形和方形轉化為星形和重疊的格子，形成更復雜的對稱圖案（圖1）。西班牙有許多伊斯蘭建築的優秀例子（圖2）。
圖1：搭接法展示從圓圈到直線到星形再到重疊的格子編帶的過程，Sketchpad繪製
圖2：阿爾罕布拉宮的瓷磚
這些錯綜複雜的圖案絕大多數都是以週期性的方式重複，下面這兩個來自阿爾罕布拉宮的圖案就說明了這一點。有些圖案從一箇中心點發出，在徑向軸上保持週期性的對稱（圖3）。有些圖案則在兩個線性獨立的方向上完美重複（圖4），這稱為二維晶體組。
圖3：阿爾罕布拉宮的瓷磚——徑向對稱
圖4：阿爾罕布拉宮的瓷磚——週期性平移
雖然在伊斯蘭建築上發現的許多圖案都可以使用週期性的方法來構建，如用直尺和圓規繪製的帶狀結構，但也有許多例子似乎是非週期性的，其中包含對稱性，這可能需要額外的構造技術。圖5和圖6的瓷磚分別來自15世紀的土耳其和17世紀的印度，展示了十次對稱，在現代已經在準晶體結構中發現了這種對稱。哈佛大學物理學家彼得·盧（Peter Lu）最近的發現表明，創造這些圖案的中世紀工匠對幾何的理解比最初認為的要深刻。
圖5：土耳其布林薩奧斯曼綠色清真寺蘇丹小屋（公元1424年）
圖6：位於印度阿格拉的I‘timad al-Daula陵墓（公元1622年）
2非週期和非週期密鋪
線上性方向上不重複的圖案被稱為非週期性圖案。Heinz Voderberg在20世紀30年代設計的密鋪（圖7）展示了一種螺旋對稱性。圖8中形如獅身人面像的密鋪圖案具有自相似的分形特徵，因為每塊獅身人面像可以被分成4個較小的獅身人面像。
圖7：Voderberg的螺旋密鋪
圖8：獅身人面像密鋪——1分4的自相似
在20世紀70年代，人們發現了一些新的密鋪，這些密鋪不僅是非週期性的，而且不能被重新排列成周期性的。這種“非週期性”密鋪的一個例子是由羅傑·彭羅斯發現的，由兩種菱形組成（圖9）。這些“彭羅斯菱形”的拼合方式是由形成非週期性圖案的弧線決定的（圖10）。雖然這個圖案不是週期性的，但它是高度結構化的，包含準週期性的五重旋轉對稱性。
圖9：彭羅斯菱形
圖10：彭羅斯非週期性平鋪
非週期對稱性已經融入到現代建築設計中。澳洲皇家墨爾本理工學院的斯托雷大廳（圖11-12）建於20世紀90年代，利用基於彭羅斯非週期菱形的對稱性。這個創新的設計和將大廳與周圍19世紀的墨爾本社群相融合的設計，為這座現代建築贏得了很多建築獎項。
圖11：澳洲皇家墨爾本理工學院的斯托雷大廳
圖12：澳洲皇家墨爾本理工學院的斯托雷大廳內部禮堂
3 中世紀的Girih密鋪
公元10-15世紀的複雜的非週期性密鋪的例子在世界各地都可以找到。伊朗伊斯法罕的達卜伊瑪目清真寺（Darb-i Imam，公元1453年，圖13-14）提供了這類裝飾的優秀範例。最近的發現提供了耐人尋味的見解，工匠們如何以保持非週期性準晶體的錯綜複雜的對稱性的方式來裝飾清真寺。
圖13：伊朗伊斯法罕達卜伊瑪目清真寺的門戶
圖14：伊朗伊斯法罕達卜伊瑪目清真寺中的馬賽克彩繪作品
圖15是一套由十邊形、五邊形、六邊形、蝴蝶結形和菱形組成的girih密鋪，展示了建立複雜圖案的方法。girih密鋪本身不是最終圖案的一部分，而是在girih密鋪上的線條裝飾決定了最終的設計。girih密鋪可以被認為是決定實際圖案位置的模板。如圖16-17展示了拆解圖案的過程。
圖15：girih密鋪的5種組成部分
圖16：阿富汗Gazargah的Khwaja Abdullah Ansari的帖木兒神殿（公元1425-1429年）
圖17：伊拉克巴格達Abbasid Al-Mustansiriyya Madrasa（公元1227-1234年）的露臺
References
［1］ Richard Ettinghausen， Oleg Grabar， Marilyn Jenkins-Madina， Islamic Art and Architecture 650–1250 Yale Univ。 Press， New Haven， CT， 2001。
［2］ Peter J。 Lu and Paul J。 Steinhardt，
Decagonal and Quasi-crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture
。 Science。 Vol。 315， pp。 1106-1110， 2007。
［3］ Peter J。 Lu and Paul J。 Steinhardt， Supporting Online Material for
Decagonal and Quasi-crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture
。 Retrieved on April 15， 2007 from
http：//www。sciencemag。org/cgi/content/full/315/5815/1106/DC1。
［4］ Alpay Ozdural，
Mathematics and Art： Connections between Theory and Practice in the Medieval Islamic World
， Historia Mathematica。 Vol。 27， pp。 171-201， 2000。
［5］ Raymond F。 Tennant，
Islamic Constructions： The Geometry Needed By Craftsmen
， BRIDGES/ISAMA International Conference Proceedings， pp。 459-463， 2003。
［6］ Raymond F。 Tennant，
Islamic Tilings of the Alhambra Palace： Teaching the Beauty of Mathematics
， Teachers， Learners and Curriculum， Vol。 2， pp。 21-25， 2004。
［7］ Raymond F。 Tennant， Medieval Islamic Architecture， Quasicrystals， and Penrose and Girih Tiles： Questions from the Classroom
青山不改，綠水長流，在下告退。
轉發隨意，轉載請聯絡張大少本尊。