每隔一段時間，我們就會看到一些關於人工智慧（AI）的爆炸性新聞，人工智慧是將我們的思維方式自動化的學科。去年，有新聞稱“人類不再需要證明數學定理了”，這指的是2019年穀歌的一篇關於使用人工智慧證明數學定理的論文。這條新聞意味著人工智慧最終將取代數學家。
人工智慧取代數學家的想法源於對邏輯的研究
，這可以追溯到2500年前的亞里士多德，他認為直覺和邏輯是獲得知識的兩個方面。然而，在計算機出現之前，邏輯因為其嚴謹性和確定性而比直覺更受青睞，這使得邏輯推理得以正式研究並最終實現自動化。計算機是2000多年來邏輯推理發展到極致的結果，這最終實現了無需人類思維的自動邏輯推理。
然而，事實證明，邏輯推理及其自動化是不夠的，因此，直覺對數學來說是不可或缺的。
矛盾的是，在我們瞭解了邏輯推理的極限之後，我們發明了一種新工具——計算機，來利用我們的直覺。從亞里士多德學派試圖讓數學變得毫無意義，以至於可以由機器來完成，到柏拉圖學派想知道機器是否能像我們一樣真正理解數學的意義，歷史經歷了一個輪迴。
在人工智慧的許多研究領域中，“人工智慧取代數學家”實際上是計算機之前的人工智慧，它有一個特殊的地位，因為它的失敗導致了計算機的發明。回顧現代人工智慧如何取代數學家可能會幫助我們找到最後一塊拼圖，這可以應用於任何形式的知識發展，包括人工智慧本身。在人們擔心惡意的人工智慧會反射出我們的陰暗面之際，看看人工智慧能否模仿人類當中最優秀的人：偉大的數學家、科學家和思想家，或許是件令人高興的事。
如何殺死一個機器人？
在《星際迷航》的一集中，柯克船長（Captain Kirk）遇到了一群流氓機器人，他們擊落了宇宙飛船，並計劃毀滅全人類，因為他們邏輯上認為人類造成了宇宙的所有問題。為了打敗如此強大的敵人，柯克計劃使用“狂野而非理性的邏輯”作為強大的武器。最後，機器人的首領諾曼，被其中最瘋狂、最不合理的邏輯——說謊者的悖論所毀滅。
《星際迷航》片段
柯克說馬德說的都是謊話，馬德對諾曼說，“仔細聽著，諾曼。我……在撒謊。”為了解決這個悖論，諾曼抽著煙，自毀了。這樣我們就看到了一個機器人的死亡。說謊者的悖論可以如下圖所示：
說謊者悖論
悖論來源於“這句話”指的是“這句話”所屬的整個句子。如果我們假設這個句子說的是真的，那麼這個句子就是假的，因為這就是它說的。這與我們的假設相矛盾。另一方面，如果這個命題說的是假的，那麼它說的反面一定是真的，也就是說這個命題是真的，這又是一個矛盾。
悖論是邏輯最大的敵人。看看它是如何導致諾曼死亡的。事實上，如果諾曼思考關於自己的問題，他的邏輯大腦會遇到一種自我指向悖論，類似於說謊者的悖論。諾曼隱喻地反映了數學家如何面對自我參照和隨之而來的悖論。
亞里士多德：邏輯的力量
亞里士多德
，
公元前384 - 322年
亞里士多德，希臘哲學家和博物學家（公元前384-322），是邏輯學之父。他研究了我們如何以正式的方式進行理性思考。他認為邏輯推理獨立於可能應用的上下文。例如，
人皆有一死。
蘇格拉底是一個人。
因此，蘇格拉底終有一死
這是三段論的一個應用，所有A都是B，所有C都是A，因此所有C都是B ，其中A，B和C是變數，可以代表現實中的任何東西。假設前提的真實性，邏輯結果的真實性應該是確定的。
然而，如果不陷入無限迴歸，就沒有辦法證明前提的真實性。因此，亞里士多德認為“直覺給我們公理”，不言而喻的真理作為起始前提。其餘的真理要麼是歸納得來的，要麼是演繹得來的，要麼是邏輯得來的。他啟發了一代又一代的思想家將頭腦中的邏輯推理轉化為用鉛筆和紙進行符號操作，並最終轉化為使用計算機進行計算。
歐幾里得：邏輯的論證
歐幾里得，
柏拉圖學院的大門上方有一段著名的碑文：
任何不懂幾何學的人都不要進入這裡。
亞里士多德的學生可能會發現，在現實生活的辯論中，邏輯是有效的，但贏得辯論並不一定等於堅持真理。如果有不言自明的真理被稱為公理，被直覺所選擇和認同，從直覺中可以根據邏輯推理推匯出更多的真理呢？歐幾里得證明了已知的幾何知識可以用亞里士多德的邏輯系統地解釋在他的《幾何原本》中。他不僅建立了幾何學科，而且論證了從邏輯推理發展知識的框架。
一方面，歐幾里得成功地證明了邏輯可以用來證明當時所有已知的幾何真理。另一方面，透過對之前發現的所有真理的邏輯組織，他也反映了直覺的光輝，而直覺的結果是“合乎邏輯的”。
這種數學發展的邏輯框架後來遇到了障礙。首先，這些公理並不總是與現實相符。例如，人們發現，歐幾里得幾何的公理不適用於宇宙尺度上的物理空間，根據阿爾伯特·愛因斯坦的廣義相對論，在宇宙尺度上，空間被引力彎曲。其次，數學家們會發現自己被自我參照扼殺了。
萊布尼茨：邏輯即計算
戈特弗裡德·威廉·馮·萊布尼茨
比亞里士多德和歐幾里得晚兩千年的德國學者戈特弗裡德·威廉·萊布尼茨是亞里士多德邏輯的狂熱粉絲，他與牛頓共同發明了微積分。在萊布尼茨的時代，透過在代數表示式中用符號代替數字來計算數學的方法已經成熟。我們不再需要列出一個變化量的每一個數字，例如移動物體的距離，而可以用代數表示式來表示。
萊布尼茨考慮了從不同距離求速度和或從不同速度求距離的問題。為了計算任意時刻的速度，我們需要用無窮小的距離變化量除以無窮小的時間變化量。距離也是一樣，我們需要累積每一個無窮小的距離變化量用速度乘以無窮小的時間變化量。第一種計算稱為微分，第二種計算稱為積分。在任何一種情況下，我們都需要使用一種叫做極限過程的方法來確定無窮小量任意接近於零（但不是零）時的精確表示式。
萊布尼茨的微分和積分符號
上面兩個方程的左邊分別是微分和積分的萊布尼茨符號。無限小的概念（即某物幾乎為零，但不是零），後來被一個更嚴格的定義所取代。萊布尼茨展示了一個很好的例子，說明直覺如何作為一個探索者去拓展知識的前沿。
萊布尼茨發現，他的微分符號和積分符號不同於其他代表任意量的符號，因為它們有特殊的意義，發揮了強大的作用。這一發現使他產生了一組符號或“字母表”的想法，以及由此產生的一種語言，來代表亞里士多德的邏輯。他設想用新的邏輯演算把邏輯推理變成計算。
布林：邏輯作為代數
喬治·布林，
喬治·布林，一位英國數學家，他發現邏輯可以被表示為一種叫做布林代數的特殊代數。他用代數變數代替了亞里士多德用來表示邏輯命題的變數。布林變數只接受0和1作為其值，1代表TRUE，0代表FALSE。同樣，代數運算“加法”和“乘法”分別代表邏輯上的“或”和“與”。布林變數x指的是介詞或類，我們有x²=x，x+1=1。以“人皆有一死”為例，如果用x代表所有的人，用y代表終有一死，則上面這句話可以表示為xy=x。
布林代數使邏輯成為數學的一個分支，向實現萊布尼茨的“邏輯即計算”的夢想邁進了一步。今天，布林代數從根本上支撐著現代計算機的執行。
弗雷格：地基上的裂縫
Gottlob弗雷格，1848 - 1925
德國數學家戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege，1848-1925）沒有把邏輯作為數學的一個分支，而是選擇了相反的方法，把數學變成了邏輯的不同分支，他認為這比數學更基本。因此，他用一種複雜的符號語言來定義邏輯而不需要數學。有了弗雷格的符號，數學家在他那個時代使用的所有邏輯推理都可以用符號串來表示，沒有歧義。例如，下面的推理：
所有的狗都是哺乳動物
因此，狗的尾巴就是哺乳動物的尾巴
可以表示為：
在現代一階邏輯中，D、M、T分別表示“是一隻狗”、“是一隻哺乳動物”、“是……的尾巴”。讀者會發現推理的符號版本更難理解。關鍵在於，透過將任何邏輯推理表示為符號語言中的語法操作，可以透過某種“機制”來檢查其有效性。弗雷格從字面上建立了元數學，其中數學證明本身可以研究。
弗雷格試圖重建算術，或者說數論，他說：
為了避免自我引用，公理基於邏輯和集合的概念。
在從公理中定義數字之前，不涉及數字。
弗雷格認為集合的概念比數的概念更明顯，數字被定義為集合的某一性質。你可能會想說，這個稱為集合的“基數”的特定屬性就是集合中成員的“數量”。但是請記住，“數字”還沒有被定義。我們能說的是，如果你能找到兩個集合中的元素之間的一一對應，那麼它們具有相同的基數。你從之前的經驗中學到的關於數字的觀點不能在弗雷格的數論中計算。
弗雷格的計劃是，在證明了所有已知的數論的真理都可以從他的公理和邏輯規則中派生出來之後，所有數學分支都可以在邏輯基礎上重新建立起來。
在遭到致命打擊之前，他的野心幾乎成功了。說謊者的悖論殺死了諾曼。同樣，一個自我參照的悖論終結了弗雷格的數學抱負。伯特蘭·羅素是英國的數學家，在弗雷格即將出版他最後一本也是最偉大的邏輯著作之前，他給弗雷格寫了一封信。在信中，羅素提出了一個用弗雷格自己的符號語言表達的場景：
如果一個集合是不屬於它自己的所有集合的集合，那麼這個集合是否屬於它自己？
這種情況被證明是一種悖論。任何一個答案都會導致矛盾。弗雷格認為這一悖論是他計劃建立的數學基礎上的一個裂縫。弗雷格總想擺脫他那不可靠的直覺，這使他感到震驚，他絕望了，放棄了他的計劃。