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泰勒公式是數學分析中重要的內容，也是研究函式極限和估計誤差等方面不可或缺的數學工具，泰勒公式集中體現了微積分“逼近法”的精髓，在近似計算上有獨特的優勢。
在我以前的文章中，我使用了以下結果，但沒有太多解釋：
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在x處求導
這稱為f（x）關於x的泰勒級數展開式。如果ε是一個很小的數，那麼根據泰勒定理，可以得到以下近似：
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這被稱為k階的泰勒近似。k=1的近似稱為線性近似（尤其重要）：
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k=2的近似值有時也會用到。對於多變數函式的展開更為複雜，因此展開式將只止於二階：
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我不打算在這篇文章中證明泰勒定理。這是一個基本的練習，你可以在任何微積分課本上找到，在這裡重複它可能會讓你們感到厭煩。
相反，我將解釋為什麼它在物理中很重要。
泰勒定理的重要性
在物理學中，當需要用一個函式在附近一點的值來表示它在某一點的確切值時，泰勒定理便發揮了其作用。在物理中，線性近似通常就足夠了，因為我們可以假設一個長度尺度，在這個尺度上，ε的二階和更高階是不相關的。
例如，如果在某一點x，我們知道f（x）的值，我們也知道f ‘ （x）的值，那麼我們可以透過在斜率為f ’ （x）的點（x，f（x））上畫一條直線來估計f（x+ε）：
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如果已知f在x處的高階導數的值，那麼這些關於f的更詳細的資訊可以用來更準確地估計f（x+ε）的值。對於多變數的函式也是一樣的，只需用切平面代替切線即可。
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點P處的f曲線的切平面近似於曲線上的鄰近點。
對於附近點的物理過程之間的關係，如果我們只有一些定性的資訊，也可以使用泰勒定理。透過將定性資訊與描述所研究過程的函式的泰勒展開式中出現的導數聯絡起來，就可以用數學的方式表達該資訊了。
在我最近的一篇關於納維爾-斯托克斯方程的文章中出現了一個例子（改變世界的方程之納維爾－斯托克斯方程，堪稱最難的物理學方程 ）。我必須找到包含在一個無限小的流體團中的兩個測試粒子的速度之間的關係。我得到的資訊是一個經驗事實，不可壓縮牛頓流體的運動有一個平移分量，一個旋轉分量，還有一個與流體變形相關的分量。透過使用線性近似來表達一個粒子的運動與另一個粒子的運動並解釋結果，我找到了平移、旋轉和變形的表示式。
這些都是你在理論物理和實驗物理中經常會遇到的情況。入門和中級物理課程不會花太多時間在泰勒近似上，因為在那個教育階段，常規的、有確切答案的簡單問題比需要一些創造力來解決的開放式問題更有意義。甚至有人提出，物理學本身在某種意義上是對應用於自然界的線性化的研究。不管你是否同意這種觀點，事實是，泰勒定理及其結果的應用對物理學家來說是絕對必要的，沒有它，物理研究不會走得太遠。
泰勒定理的物理應用
假設我們想研究電荷在樣品內的分佈。我們必須透過觀察它與電勢的相互作用來推匯出關於分佈的資訊。假設我們完全知道電勢的情況（這在實驗中由我們控制）。我們的策略是將未知的分佈表示為基本電荷分佈的疊加，每一個基本電荷分佈都只與勢能的泰勒展開中的n階項相互作用。這樣的分解被稱為多極展開式。
讓ϕ表示已知電勢，ρ表示未知的電荷密度函式。設V為樣本所佔的區域（空間），假設這個區域很小，包含原點。產生電勢ϕ的電荷離樣品很遠。
與兩個電荷集之間相互作用的能量由體積積分給出：
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讓我們把ϕ寫成靠近原點的泰勒展開，其中ϕ_0是原點的電勢。那麼V中（x，y，z）處的勢為：
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每個導數上的下標0表示它在原點處的值。
總能量的第一項是：
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所以在展開式中與零階項相互作用的基本分佈是原點的點電荷，它的值就是樣本的總電荷。點電荷的另一種說法是單極子，所以我們稱Q為樣品的單極子力矩。
對於下一項，我們先做如下簡化：
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其中E_0，是由於ϕ造成的原點電場。這部分的相互作用能為：
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ρr除以整個電荷分佈的積分稱為電荷分佈的偶極矩，標記為P。因此，ϕ的泰勒展開式中與一階項相互作用的初等分佈是一個力矩為p的純偶極子。純電偶極子是一對電荷大小相等、方向相反、相距固定距離的電荷。如果分佈有一個非零偶極矩，這意味著有一個分離的正負電荷沿著透過原點的線，方向是向量p。
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純偶極子附近的電場線。我在（一文搞懂麥克斯韋方程，現代科技的總基石，人類文明的加速器 ）一文中使用了這張圖。
現在簡化剩下的項。讓我們從分離混合偏導開始，例如：
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現在我們把1/2換成3/6：
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其原因與多極理論背後的數學形式有關，我們沒有時間在這裡討論。
V中不存在產生ϕ的電荷，所以ϕ服從原點的拉普拉斯方程：
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這意味著我們可以把 （∇²ϕ）₀加到二階導數的和中，而不改變表示式的值，所以讓我們加上：
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其中r²=x²+y²+z²：
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設i和j都是變數集合{x，y，z}中的元素，賦值：
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符號δ_ij稱為克羅內克運算子（Kronecker delta）：
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例如，如果i=x，j=y，那麼α_ij=3xy，或者如果i=j=z，那麼α_ij=3z²-r²。那麼二階偏導數的和的形式是：
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現在我們計算二階項的能量積分：
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ρα_ij對電荷分佈的積分稱為分佈的四極矩，這是一個張量，表示為3×3陣列，其分量為Qᵢⱼ。因此，在ϕ的展開式中與二階項相互作用的初等分佈是一個純四極，其矩張量有分量Q_ij。純四極子是指向相反方向的一對相等的偶極子。
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線性四極的電場。
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方四極的電場。
我們將找到樣品的8極矩、16極矩、32極矩等的相互作用能。在實際應用中，高階多極矩的相互作用能隨階數的增加而迅速減小，因此我們通常止於四極矩，得到一個很好的近似。
因此，我們可以把總相互作用能寫成：
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透過觀察ϕ的能量變化，可以透過實驗推匯出力矩的值，這為分析樣品內部電荷分佈提供了一種機制。
這使得多極展開式理論在分子和原子物理學中很重要。例如，要確定一種化學物質是否有極性分子或非極性分子，測試一種化學物質的樣本，看看它是否有偶極矩。
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水是極性分子
透過測量原子核的四極矩可以推斷出原子核的形狀。結果是，如果一個分佈是圍繞一個軸旋轉對稱的，稱為主軸，那麼四極張量只有一個獨立分量，我們稱之為Q。
如果Q>0，則分佈沿主軸拉伸（延長）；如果 Q<0則分佈沿主軸扁平化；如果Q=0則核為球形。核四極矩的測量發現，長形比扁形更常見。解釋這一點仍然是一個未解決的問題。
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動量守恆和平移對稱
諾特定理是理論物理學的一個重要結果。它說，如果一個系統的行為在一個特定的無限小的變換下沒有改變，那麼這個變換對應一個守恆量。我們將說明平移對稱如何導致動量守恆。為了簡單起見，我們假設系統是保守的。
假設系統由n個粒子組成，每個粒子的位置為（x_i，y_i，z_i）。讓勢能是所有粒子位置的函式V（x_1，…，x_n，Y， Z），其中Y和Z是粒子Y和Z座標的簡寫。假設系統中的每個粒子沿x方向平移一個極小距離，則：
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例如，如果勢能取決於粒子之間的距離，這就不成立。
我們做如下的線性展開：
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那麼由平移對稱假設：
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對於保守型系統，F=-∇V，所以作用在每個粒子上的力的x分量和為零，意味著系統在x方向上沒有受到任何淨力。力是動量的時間導數，所以總動量的x分量是守恆的。
結束語
近似定理在基礎物理課程中並不是很重要，但是當你開始學習高等物理時它們就變得越來越重要了。特別是線性近似會在高等物理的所有內容中都有用到，所以對你們來說，熟悉線性近似是很重要的。
泰勒展開式通常是用不同的形式寫的：
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用x代替a，用x+ε代替x，得到本文的形式。所使用的形式純粹是一個符號問題，對於給定的問題，其中一種可能更方便。