女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

託普卡普卷軸是研究伊斯蘭幾何裝飾的重要文獻來源。本文給出了一些典型設計的數學分析，集中在一個模組結構，設計是由六個拼塊組裝而成。本文展示了這種多功能系統的應用，包括非標準設計元素的引入，基於彭羅斯菱形的非週期圖案，以及幾種同時在兩個尺度上具有互補圖案的兩級設計。

1.介紹

本文繼續分析託普卡普卷軸中的二維幾何設計［13］。在第一部分［5］中，我討論了透過反射覆制模板的一般方法及其對圖案的結構和對稱性的影響，並分析了一些不尋常的星形圖案的構造。

在這裡，我專注於一個幾何設計的模組化系統，其中的圖案是由一組小而通用的拼塊組裝而成的，這些拼塊上裝飾著標準化的圖案。Hankin ［6］、Makovicky ［12］、Bonner ［1］以及Lu和Steinhardt ［11］都提到過使用這些拼塊中的一部分或全部來製作傳統的伊斯蘭圖案。在這篇文章中，我將重點放在託普卡普卷軸的面板上，它提供了證實這種方法的證據。這些設計由其他來源的例子補充，以說明引入非標準特徵的方法的修改。特別是，我展示了由重複單元邊界上的拼塊的不規則裁剪引起的變化，或者透過一小塊拼塊內的圖案替換引起的變化。

託普卡普卷軸的七個設計同時在兩個尺度上呈現互補的圖案。其中一個已經在第一部分中討論過了，其他六個都是基於模組化系統的。這兩層設計中的四層是基於拼塊的細分，這種方法將相似性轉換作為另一種形式的區域性對稱引入到伊斯蘭圖案中。比較了Bonner ［1］和Lu和Steinhardt ［11］對伊斯法罕Darb-iImam雙層圖案的分析——後者被認為與卷軸中的例子更一致。

本文中對

託普卡普

卷軸編號面板的引用使用［13］中的編號。

2.一組裝飾拼塊

圖1顯示了一組六塊拼塊：

。角度為72度和108度的菱形

。正五邊形（角度為108度）

。角度為72°和144°的凸六邊形——線軸

。角度為108和144的凸六邊形——桶

。角度為72和216的非凸六邊形——蝴蝶結

。正十邊形（角度為144度）。

圖1 一些角是36的倍數的等邊拼塊。

表1 託普卡普卷軸的面板，其中拼塊是可見的或可用於解釋構造。

所有的拼塊都是等邊的，它們的內角都是36的倍數，它們都具有非平凡對稱性。每個拼塊都裝飾有一個圖案，透過在每個邊緣的中點放置兩條線，與邊緣成54°角，並將它們延伸到拼塊內部，直到它們與從其他邊緣生長的類似線相交。桶六邊形和十邊形有兩種裝飾形式。一個十邊形圖案是正星形多邊形{ 10/3 }；它的組成部分與領結上的風箏一致。另一個十邊形圖案更加複雜，對稱性從10次旋轉降低到5次旋轉。圖案可以保持簡單的線形，勾勒出的區域可以著色，或者線條可以加寬並交織成絲帶。這三種風格的例子都出現在圖中。

這些拼塊可以組裝成許多傳統的伊斯蘭圖案。線軸六邊形上的圖案類似於纏繞紗線的錠子或線軸。這種獨特的主題很容易在設計中找到，它的存在很好地表明瞭設計可以以這種方式構建。圖2顯示了幾個帶有小重複單元的例子，基於

託普卡普

卷軸中的面板。在每種情況下，卷軸中的面板對應於以灰色顯示的區域，並且是反映在矩形的邊上以生成圖案的模板。拼塊的邊緣包括在圖中，以顯示設計的基本結構，但在成品中，這些結構線將被刪除，只留下圖案。這隱藏了基本框架，有助於保護藝術家的方法。

圖2 小重複單元設計。（a） 62號面板，（b） 50號面板，（c） 53號面板。

Bourgoin收藏［2］的圖版173、175、176和178顯示了具有小重複單元的設計，這些小重複單元可以由拼塊產生（下面的拼塊未顯示）；板173顯示了圖2（a）中設計的較大部分。

Hankin ［6］的圖37使用了與圖2（a）相同的拼塊排列，並具有兩種形式的十邊形圖案，而不僅僅是{10/3}星形。他的圖的左半部分顯示了設計和拼塊，右半部分只顯示了設計。Hankin的工作也提供了一個描述：“一個廣泛使用的基於十邊形結合紡錘形圖形的圖案類別的例子”［6，第20頁］。

Hankin的小冊子［6］包含其他例子，表明他知道整個模組化系統。他的作品45-50展示了印度莫臥兒城Fatehpur Sikri圓頂建築的四種圖案，他在每種圖案上都畫出了拼塊的邊界。他的一個圖，如圖3所示，包括了所有的六塊拼塊。這是一個在圓頂周圍重複的模板，左邊的頂點形成頂點。儘管模板的頂角是36角（所以10個複製品會圍繞平面上的一點），但Hankin解釋說只有8個複製品被用來裝飾一個圓頂。角度不足迫使該結構成為圓錐形，這更容易轉移到圓頂的曲面上。

圖3 來自Hankin ［6］。

託普卡普卷軸提供了歷史上使用拼塊製作圖案的證據。在面板28、50、52、53和62中，設計用黑色實線繪製，拼塊用紅色虛線勾勒。面板29、31、32、34和49中的設計也可以使用拼塊來建立，但是拼塊沒有在這些圖中示出（這些是同時在兩個比例上顯示圖案的複雜設計，將在後面討論）。表1總結了每個面板中存在的圖塊。在畫面53中，桶形拼塊被連線兩個頂點的等分線分成兩個梯形。在卷軸的所有例子中，圖案總是顯示十邊形1和桶2。

在許多可以被視為使用拼塊構造的設計中，圖案的線條與拼塊邊緣形成的角度是54。然而，正如伊斯蘭設計的許多方面一樣，也有變化。卷軸的面板58示出了用紅色虛線勾勒的拼塊，但是疊加了具有72入射角的設計。圖4顯示了來自開羅的另外兩個例子。（b）和（d）部分顯示了（a）和（c）照片中圖案的結構。兩種情況下拼塊的排列是一樣的：（d）是（b）的一半，由90旋轉。它們的入射角分別為72和36。（a）部分是阿茲哈爾清真寺的裝飾。細支柱形成通常作為最終設計留下的部分，但是這裡它們由較粗支柱的網路支撐，較粗支柱大部分沿著拼塊的邊緣。這種形式的螢幕提供了間接證據來支援“多邊形接觸”的建造方法［1，8］——有時這種關係比這種情況更明顯（參見Wade收藏中的照片IND 0820［15］作為一個很好的例子）。（c）部分是來自Barquq陵墓的一個雕刻的石墓。這種設計是欺騙性的：儘管它與可以用圖1的標準拼塊產生的設計共享許多區域形狀，但是它不能使用54入射角由它們製成。

圖4 開羅設計，（a）和（c）中的照片是大衛·韋德的收藏中的EGY 0923和EGY 1322的照片。

Bonner ［1］稱基於36、54和72入射角的結構分別為鈍角、中間角和銳角。這並不提供設計的分類，因為入射角取決於拼塊的選擇，一個設計可能屬於多個類別。圖5顯示了一個例子，左邊是54（中間）結構，右邊是相同設計的36（鈍角）結構；中間部分顯示了底層鑲嵌的雙重性。卡普蘭［8］對鑲嵌的這種雙重性進行了更廣泛的探索。

圖5 共同設計的雙層結構

3.具有非標準特徵的設計

圖2中設計的重複單元包含很少的拼塊。伊斯蘭藝術家也創作出具有更大重複單元的設計，以及結構更少的藝術品，其中完全看不到平移對稱性，儘管通常很清楚這些作品如何能夠繼續產生週期性的圖案。即使在這種明顯不規則的拼塊排列中，眼睛也能在圖案的經濟性中找到統一性——相同的幾個形狀出現在不同的環境中。這與使用“多邊形接觸”方法產生的複雜星形圖案形成對比。在這種情況下，在設計中混合不同種類的星星通常是透過在定義星星的正多邊形之間構建不規則五邊形和六邊形的單元矩陣來實現的；完成的星形圖案包含許多不同形狀的區域，如果在尺寸和形狀上明顯缺乏一致性，就會顯得雜亂。

圖6示出了透過在其側面反射面板52的矩形模板而產生的設計。展示的作品包含模板的六個副本——三個橫放，兩個豎放。除五邊形之外的所有拼塊都出現在設計中。在此示例中，模板的邊界被拼塊的側面或拼塊的映象線覆蓋，這兩者都確保了連線處拼塊的連續性。在其他來源的設計中，拼塊並不以這種方式適合重複單元，而是懸於邊緣之上。對於這種生成設計的方法來說，這不是問題：懸垂的拼塊被簡單地切割以適合，反射照顧到了圖案的連續性。

圖6 託普卡普卷軸第52頁的設計。

圖7顯示了這種技術的一種變體。這是對開羅國家圖書館中一本有插圖的可蘭經設計的分析。灰色區域表示透過平移複製的六邊形重複單元。六邊形內拼塊的排列是圖8（e）所示普通結構的裁剪形式，蝴蝶結和線軸圍繞十邊形交替排列。線軸上的圖案在靠近模板邊界處被修改。這在最終設計中產生了不尋常的形狀區域，這有助於掩飾其構造方法。

圖7 從《可蘭經》構建一個設計。

圖8 插入其他星形和玫瑰形中心的替換。

在有大重複單元的設計中，有10倍對稱的拼塊塊有時被一個包含三層玫瑰圍繞{10/4}星的主題所取代。圖8顯示了這種替換的三個例子：上面兩個來自Bourgoin［2］的189和190板（圖9和10），下面一個來自土耳其科尼亞的卡拉塔伊Madrasa的設計［4，圖10］。圖11顯示了玫瑰［9］的結構。切線圓控制幾何形狀。薔薇十字的兩條線在每一個切線處成36度角。大圓內的線形成一個規則的{10/4}星；恆星外面是三層細胞——六邊形花瓣、箭頭和風箏。這種形式的替代在設計中引入了一種新的元素，這種元素不能僅由拼塊產生，但在風格上是相容的。它增加了多樣性，強調了設計的自然焦點。

圖9 Bourgoin［2］中189板塊的構建

圖10 Bourgoin［2］的190板塊的建造

圖11 10/4星上的一朵玫瑰

為了在圖10中找到一個重複單元，透過{10/4}星的中心畫水平線和垂直線。玫瑰被放置在這個矩形的角上，但是原始拼塊片的對稱性（圖8c）不包括垂直的映象線。這導致沿著重複單元的頂部和底部邊緣的拼塊的異常裁剪，其效果在圖底部的兩朵玫瑰之間清晰可見。

由拼塊構成的設計自然包含區域性5重和10重對稱的中心。透過反射覆制矩形模板將總是產生具有平移對稱性的設計。對於拼塊的當代應用，我們可以採用最著名的區域性五重對稱中心圖案，並使用彭羅斯菱形來組織一個沒有平移對稱的設計。圖12（a）和（b）顯示了排列在兩個菱形上的拼塊，十邊形位於每個角的中心，蝶形沿每個邊對齊。由於這種設計中的拼塊非常小，因此應用棋盤區域陰影來產生裝飾。胖菱形中的短軸不是映象線並不重要——這個特徵與彭羅斯鑲嵌中強制非週期的匹配規則是一致的。圖12（c）顯示了最終圖案的一部分。

Rigby和Wichmann［14］用一種不同的方法制作了五重伊斯蘭設計。他們沒有使用裝飾過的拼塊，而是將最終設計中可見的形狀拼接在一起。他們用這些形狀覆蓋了彭羅斯風箏和飛鏢，製作出了一種非週期性的設計。

Castera

［3］和卡普蘭［7，x3。10］也透過裝飾彭羅斯菱形產生了非週期性圖案，但在這兩種情況下，傳統的星星圖案重疊並被修改，以便它們可以融合在一起。

圖12 基於彭羅斯菱形的當代非週期星形圖案。

4.有兩種比例圖案的設計

多尺度設計的相互作用是一些大型伊斯蘭設計的特徵。這些多尺度的設計通常出現在建築物上，當觀眾靠近時，他們會經歷一系列的模式。從遠處看，具有高對比度的大比例形式占主導地位，但在近處，這些形式變得太大而無法感知，較小的形式取而代之。實現這種過渡的早期方法非常簡單，通常只是用花卉或植物卷軸逐漸填充背景中的空隙，使設計沒有空白空間。透過密度、雕刻深度、顏色和紋理的變化來表現尺寸和細節層次的差異。後來的設計更加雄心勃勃，在不止一個尺度上使用相同的風格。

圖1中的拼塊被用來分析伊朗伊斯法罕的Darb-iImam（伊瑪目聖殿）中一個著名的兩層設計（見Wade收藏中的IRA 0907圖［15］）。Bonner ［1］使用了四種拼塊：五邊形、桶形、十邊形，加上一個“薄”菱形，其角度為36和144。為了構建小比例設計，他首先鋪設拼塊，使其邊緣或映象線覆蓋大比例設計中的線條，然後填充剩餘區域以完成密鋪。小比例的設計是利用36入射角由拼塊構成的（菱形沒有圖案）。Lu和Steinhardt［11］的分析使用了三種拼塊：蝶形、線軸和十邊形。他們從大規模設計下面的蝴蝶結和十邊形拼塊開始，然後將每個大拼塊細分為小拼塊。大比例和小比例設計都是使用54入射角從它們各自的拼塊構建的。

事實上，小比例密鋪的兩種選擇是對偶的，如圖13所示。大規模設計如圖5所示，因此它也與兩個雙重鑲嵌有關。Bonner選擇了五邊形、六邊形和十邊形作為大尺度設計的結構。這使得他可以宣稱大小比例的設計都是用一套普通的拼塊做成的鈍角構造。然而，這種選擇是任意的，因為他的方法沒有在大小拼塊之間建立任何自然的幾何聯絡。他的方法還需要引入薄的菱形拼塊，這在託普卡卷軸中沒有出現。相比之下，盧和斯坦哈特的構造是基於一個廣泛使用的拼塊三位一體，他們的程式透過細分揭示了大小拼塊之間的關係。我們將在下面看到，卷軸中的一些兩層設計也可以用拼塊的細分來解釋。

圖13 Bonner ［1］與Lu和Steinhardt ［11］對兩級設計的分析比較。

託普卡普卷軸包含兩種兩級設計的例子，它們的區別在於小比例設計是構成前景還是背景裝飾。Bonner ［1］分別稱這些為B型和A型。（他還發現了一種C型，這種C型依靠顏色來區分大小比例的圖案，但是這種圖案出現在西班牙和摩洛哥，並沒有出現在卷軸上。）

圖14示出了卷軸的面板49的細節結構。（注意，在［1，圖10］中重新繪製的面板49的副本不同於沿著框架的原始副本。）大比例設計是用寬線條繪製的一顆{10/4}星周圍的玫瑰的一部分。在圖的左邊，道路是用圖1中的拼塊鋪成的。道路的邊緣由拼塊的映象線組成，所有的拐角都位於十邊形的中心。在拼塊上使用交錯的圖案來創造小比例的設計會產生一種不協調的絲帶影象，有許多鬆散的末端。一個更有效的模式是透過應用棋盤陰影產生的，如右圖所示。在第一部分［5］中討論的面板38是另一個兩級模式，前景是小比例模式（型別B）。

圖14 託普卡普卷軸的面板49的細節結構。

託普卡普卷軸的五個面板是兩級設計的模板，其中小比例圖案填充大比例圖案中的背景區域（型別A）。在面板28中，三幅圖疊加在同一個圖形上：一個小比例的設計用黑色實線繪製，其相應的密鋪用紅點勾勒（如前面所述的面板）；紅色實線中添加了一個大比例設計。在每個面板29、31、32和34中，沒有示出拼塊，但是紅色的大比例設計覆蓋在黑色的小比例設計上。

面板28和29的結構如圖15和16所示。在每種情況下，小比例設計用交錯的圖案描繪，大比例設計用粗灰線顯示；粗黑線定義了與大比例設計相關的密鋪。在兩個圖中繪製的模板具有雙重旋轉對稱，但是卷軸中的面板不是這種情況，其看起來是不完整的：包含來自面板28的右手端的大約20%和來自面板29的左手端的大約30%的卷軸部分缺失。也許原始卷軸的一部分被損壞並被移走了。在圖17和18中，模板透過側面的反射而被複制，以產生成品設計的足夠大的區域，用於欣賞大比例的設計。這些例子說明了表達大比例圖案的兩種不同方式：圖17中的區域陰影和圖18中的簡單線條。這兩種方法都被用於伊朗伊斯法罕建築物上的雙尺度圖案——參見上文引用的Darb-i Imam影象和［15］中的IRA 1116 （Madrasa Madar-i Shah）。在這兩種情況下，小比例的設計已經用區域的棋盤陰影進行了渲染。

圖15 託普卡普卷軸第28幅圖的分析

圖16 對託普卡普卷軸第29幅圖的分析

圖17 基於託普卡普卷軸面板28的雙層設計

圖18 基於託普卡普卷軸面板29的雙層設計

在圖15中，粗黑線標出了一箇中心菱形，以左上角和右下角為中心的十邊形的四分之一，以及矩形頂部和底部邊緣的半菱形。這些拼塊與圖1中繪製的菱形和十邊形拼塊的大比例圖案有關。因此，相同的構造方法是小規模和大規模設計的基礎。還要注意的是，在這個例子中，疊加小比例和大比例鑲嵌建立了大拼塊的細分，其中大拼塊的每個邊由兩個小拼塊的邊和一個小十邊形的對角線組成。Bonner ［1］引用面板28作為兩級設計的模組化構造的證據，但隨後聲稱大規模設計具有鈍角構造。在圖15中，大比例設計有一個54入射角（中間）；在這種情況下，沒有由拼塊組成的雙重網格，即使使用Bonner的十個拼塊的擴充套件集。盧和Steinhardt ［11］正確地確定了大規模設計的結構，並首先認識到細分屬性。

事實上，面板28、31、32和34都是以這種方式建立的，並且分析［4］揭示了在所有四個面板的構造中將大拼塊一致地細分為小拼塊。圖19顯示了菱形、桶形、筒形和十邊形的細分以及五邊形的部分細分。當大小拼塊都是這種比例時，不可能找到五邊形和蝶形拼塊的完整細分。這些細分在［4］中有更詳細的討論。

圖19 從託普卡普卷軸中的雙層圖案衍生出的細分，比例因子為3 +√5 = 5：236

圖20顯示了具有兩個互補模式的原始設計。這裡，兩種圖案之間的比例差異小於託普卡普卷軸中的比例差異，因此在小比例設計中使用交錯是可行的。這個設計是透過在大規模設計中的每個交叉點上放置一個線軸來建立的，然後用蝴蝶結和十邊形完成小規模拼塊的剩餘部分。底部中央顯示了大比例圖案中10點星的自然填充。在圖片的其餘部分，使用圖8（e）和（f）的替換，這些拼塊片已經被替換為Konya {10/4}圖案。

圖20 有兩種互補圖案的原創設計

5.結束語

我們已經看到，託普卡普卷軸展示了用圖1中的拼塊創造傳統伊斯蘭幾何圖案的各種方法。從土耳其到埃及，再向東穿過伊朗到中亞，各種媒介中都可以找到實物例子。該系統的模組化性質允許自由形式的組合物自發生長，導致有點混亂的設計，如圖3中的圓頂模板。拼塊通常排列成覆蓋一個矩形，然後作為模板重複。模板可能非常大——圖10的重複單元包含大約40個圖塊。當拼塊用於覆蓋除矩形以外的形狀時，圖案的複雜性可能會顯著增加。例子包括用寬線條繪製的大設計（圖14），大設計中的背景區域，甚至是大版本的拼塊本身（圖19）。覆蓋彭羅斯菱形圖案賦予了現代感（圖12）。如此多才多藝的設計系統的創造肯定是伊斯蘭幾何藝術的最高成就之一。

參考文獻

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青山不改，綠水長流，在下告退。

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